Trong ΔABC ta có:
E là trung điểm của cạnh AB
D là trung điểm của cạnh AC
Nên ED là đường trung bình của ΔABC
⇒ ED // BC và \[ED = \frac{1}{2}BC\] (tính chất đường trung bình của tam giác)
Tứ giác BCDE có: ED // BC nên BCDE là hình thang.
Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE
M là trung điểm cạnh bên BE
N là trung điểm cạnh bên CD
Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE
⇒ MN // DE
Áp dụng tính chất đường trung bình hình thang ta có:
\[MN = \frac{1}{2}\left( {DE + BC} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}BC + BC} \right) = \frac{3}{4}BC\]
Trong ΔBED, ta có:
M là trung điểm BE
MI // DE
Þ MI là đường trung bình của ΔBED
\[ \Rightarrow MI = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{4}BC\] (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong ΔCED ta có:
N là trung điểm CD
NK // DE
Þ NK là đường trung bình của ΔCED
\[ \Rightarrow NK = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{4}BC\] (tính chất đường trung bình của tam giác)
\[ \Rightarrow IK = MN - (MI + NK) = \frac{3}{4}BC - \frac{1}{4}BC - \frac{1}{4}BC = \frac{1}{4}BC\]
\[ \Rightarrow MI = IK = NK = \frac{1}{4}BC\]
Vậy MI = IK = KN.