Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thoả mãn \[\overrightarrow {DB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\,\,\,\,\overrightarrow {AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\,\,\,\,\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]. Biểu thị mỗi vecto sau \[\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {DH} ,\,\,\,\overrightarrow {HE} \] theo \[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \].
Vì \[\overrightarrow {DB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \] nên \[\overrightarrow {DB} \,,\,\,\,s\overrightarrow {BC} \] cùng hướng và \[DB = \frac{1}{3}BC\].
\[\overrightarrow {HE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \] nên \[\overrightarrow {AE} \,,\,\overrightarrow {AC} \] cùng hướng và \[AE = \frac{1}{3}AC\].
\[\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \] nên \[\overrightarrow {AH} \,,\,\,s\overrightarrow {AB} \] cùng hướng và \[AH = \frac{2}{3}AB\].
Ta có: \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \]
\[ = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \]
\[\overrightarrow {DH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AD} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {DH} = \overrightarrow {HE} \]
\[\overrightarrow {HE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]
Vậy \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \]
\[\overrightarrow {DH} = \frac{{ - 2}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \]
\[\overrightarrow {HE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]