Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)
Ta có: AJIB là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AJ} = \overrightarrow {BI} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \)
Tương tự như vậy:
• BCPQ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \)
• CARS là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CS} + \overrightarrow {RA} = \overrightarrow 0 \)
Do đó: \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} \)
\( = \left( {\overrightarrow {RA} + \overrightarrow {AJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BQ} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {CS} } \right)\)
\( = \left( {\overrightarrow {RA} + \overrightarrow {CS} } \right) + \left( {\overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} } \right)\)
\( = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)