Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \).
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có:
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MC} - 3\overrightarrow {GM} \)
Xét \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MC} - 3\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {GM} \)
Suy ra M là điểm nằm giữa C và G sao cho \(MG = \frac{1}{4}CG\)
b) Ta có: \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} \]
\[ = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {MC} \]
\[ = 4\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\]
\[ = 4\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {OM} \]