Cho số nguyên dương n ≥ 4. Người ta đánh dấu n điểm phân biệt trên một đường tròn. Biết rằng số

Bài 8.21 trang 58 SBT Toán 10 Tập 2: Cho số nguyên dương n ≥ 4. Người ta đánh dấu n điểm phân biệt trên một đường tròn. Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Giá trị của n là

A. 4.

B. 6.

C. 7.

D. 9.

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Mỗi tam giác cần đếm có 3 đỉnh là các điểm được đánh dấu.

Đảo lại, mỗi bộ ba điểm được đánh dấu xác định một tam giác.

Như vậy, do khi đảo cách thứ tự 3 đỉnh đã chọn cho nhau thì tam giác tạo thành không thay đổi nên số các tam giác với các điểm được đánh dấu là số các tổ hợp chập 3 của n và là: $C_n^3$ .

Mỗi tứ giác cần đếm có 4 đỉnh là các điểm được đánh dấu.

Đảo lại, mỗi bộ bốn điểm được đánh dấu xác định một tứ giác.

Như vậy, do khi đảo cách thứ tự 4 đỉnh đã chọn cho nhau thì tứ giác tạo thành không thay đổi nên số các tứ giác với các điểm được đánh dấu là số các tổ hợp chập 4 của n và là: $C_n^4$ .

Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Suy ra $C_n^3=C_n^4$ , nghĩa là

$$\begin{gathered} \frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{n!}{4!(n-4)!} \\ \iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)(n-3)!}{\mathrm{3.2.1.}(n-3)!}=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)(n-4)!}{\mathrm{4.3.2.1.}(n-4)!} \\ \iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{\mathrm{3.2.1}}=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{\mathrm{4.3.2.1}} \\ \iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{\mathrm{3.2.1}}-\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{\mathrm{4.3.2.1}}=0 \\ \iff n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(\frac{1}{6}-\frac{n-3}{24}\right)=0 \\ \iff n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(\frac{4-n+3}{24}\right)=0 \\ \iff n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(\frac{7-n}{24}\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}n=0\\ n=1\\ n=2\\ n=7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Mà n ≥ 4 nên chọn n = 7.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 24: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Ôn tập chương 8

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Bài tập cuối chương 9