Cho phương trình \[\sin \left( {2x - \frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3{\rm{\pi }}}}{4}} \right)\]. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; π) của phương trình trên.

\[\sin \left( {2x - \frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3{\rm{\pi }}}}{4}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} = \pi - x - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+ Xét x = p + k2p (k Î ℤ)

Do 0 < x < p Û 0 < p + k2p < p

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < 0\)

Vì k Î ℤ nên không có giá trị k nào thỏa mãn.

+ Xét \(x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do \(0 < x < \pi \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \;\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{4} < k < \frac{5}{4}\)

Vì k Î ℤ nên k = 0 và k = 1

Với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\)

Với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}\)

Do đó trên khoảng (0; p) phương trình có hai nghiệm \(x = \frac{\pi }{6},\;x = \frac{{5\pi }}{6}\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: \(\frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi \)