Cho phương trình ẩn x: (m – 1)x² – 2mx + m + 1 = 0 (1) (m là tham số)

a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm x₁ và x₂.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ – x₁x₂ = 3.

a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\{m^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\{m^2} - {m^2} + 1 > 0\end{array} \right.\)

⇔ m ≠ 1

Vậy với m ≠ 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{{m - 1}}\end{array} \right.\) (*)

Ta có: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 3

⇔ (x₁ + x₂)² – 3x₁x₂ = 3

Thay (*) vào ta có:

\({\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} - 3.\frac{{m + 1}}{{m - 1}} = 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4{m^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} - \frac{{3m + 3}}{{m - 1}} = 3\)

⇔ 4m² – (3m + 3)(m – 1) = 3(m – 1)²

⇔ 4m² – 3(m² – 1) = 3(m² – 2m + 1)

⇔ 4m² – 3m² + 3 = 3m² – 6m + 3

⇔ 2m² – 6m = 0

⇔ 2m(m – 3) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn m ≠ 1)

Vậy với m = 0 hoặc m = 3 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.