Cho phương trình ẩn x: (m - 1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0 (1) (m là tham số) a) Xác định
17
24/07/2024
Cho phương trình ẩn x: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (1) (m là tham số)
a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm x1 và x2.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 – x1x2 = 3.
Trả lời
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\{m^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\{m^2} - {m^2} + 1 > 0\end{array} \right.\)
⇔ m ≠ 1
Vậy với m ≠ 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{{m - 1}}\end{array} \right.\) (*)
Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 3
⇔ (x1 + x2)2 – 3x1x2 = 3
Thay (*) vào ta có:
\({\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} - 3.\frac{{m + 1}}{{m - 1}} = 3\)
\( \Leftrightarrow \frac{{4{m^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} - \frac{{3m + 3}}{{m - 1}} = 3\)
⇔ 4m2 – (3m + 3)(m – 1) = 3(m – 1)2
⇔ 4m2 – 3(m2 – 1) = 3(m2 – 2m + 1)
⇔ 4m2 – 3m2 + 3 = 3m2 – 6m + 3
⇔ 2m2 – 6m = 0
⇔ 2m(m – 3) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn m ≠ 1)
Vậy với m = 0 hoặc m = 3 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.