Cho phương trình (1 + m)x² – 2mx + 2m = 0. Tìm m để phương trình:

a) Có nghiệm.

b) Vô nghiệm.

c) Có 2 nghiệm.

d) Có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có (1 + m)x² – 2mx + 2m = 0     (1)

a) Trường hợp 1: m = –1.

Thế m = –1 vào (1), ta được 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1.

Suy ra nhận m = –1.

Trường hợp 2: m ≠ –1.

∆’ = m² – (1 + m).2m = m² – 2m – 2m² = –m² – 2m.

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆’ ≥ 0.

⇔ –m² – 2m ≥ 0.

⇔ –2 ≤ m ≤ 0.

Kết hợp cả 2 trường hợp, ta nhận –2 ≤ m ≤ 0.

Vậy –2 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Phương trình (1) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - {m^2} - 2m < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 0\end{array} \right.\).

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 0\end{array} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Phương trình (1) có 2 nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - {m^2} - 2m \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - 2 \le m \le 0\end{array} \right.\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - 2 \le m \le 0\end{array} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - {m^2} - 2m > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - 2 < m < 0\end{array} \right.\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - 2 < m < 0\end{array} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.