Cho Parabol  (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – m + 1       

a) Tìm toạ  độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 4

b) Tìm m để (d) cắt (P) tạo hai điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x₁ = 9x₂

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² = mx – m + 1

Û x² – mx + m – 1 = 0 (1)

Thay m = 4 vào phương trình (1) ta có:

x² – 4x + 3 = 0

Û x² – x – 3x + 3 = 0

Û x(x – 1) – 3(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x – 3) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = 0}\\{x - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{y = 9}\end{array}} \right.\]

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 4 là A(1; 1) và B(3; 9).

b) Phương trình: x² – mx + m – 1 = 0 (1)

Û x² – 1 – mx + m = 0

Û (x – 1)(x + 1) – m(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x + 1 – m) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = 0}\\{x + 1 - m = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = m - 1}\end{array}} \right.\]

Để (d) cắt (P) tạo hai điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó, \[m - 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 2\]

Ta có: x₁ = 9x₂

Trường hợp 1: 1 = 9(m – 1)

Û 1 = 9m – 9

Û 9m = 10

Û \[m = \frac{{10}}{9}\] (tmđk)

Trường hợp 2: m – 1 = 9. 1

Û m – 1 = 9

Û m = 10 (tmđk)

Vậy tập hợp các giá trị m thoả mãn đề bài là \[S = \left\{ {\frac{{10}}{9};10} \right\}\].