Cho (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O') sao cho AM vuông góc với AN.
a) Chứng minh: OM // ON.
b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO’ lớn nhất.
a) Ta có: \({\widehat O_1} = {180^{\rm{o}}} - 2{\widehat A_1}\)
\(\widehat {{{O'}_1}} = 2{\widehat A_2} = 2\left( {{{90}^{\rm{o}}} - {{\widehat A}_1}} \right) = {180^{\rm{o}}} - 2{\widehat A_1}\)
Do đó: \({\widehat O_1} = \widehat {{{O'}_1}} \Rightarrow OM\,{\rm{//}}\,O'N\)
b) Gọi \(P\) là giao điểm của \(MN\) và \(OO'\)
Ta có: \(\frac{{PO'}}{{PO}} = \frac{{O'N}}{{OM}} = \frac{{R'}}{R}\)
Gọi \(P'\) là giao điểm của \(BC\) và \(OO'\)
Vì \(OB\,{\rm{//}}\,O'C\) nên \(\frac{{P'O'}}{{P'O}} = \frac{{O'C}}{{OB}} = \frac{{R'}}{R}\).
Suy ra \(P'\) trùng với \(P\) (vì cùng ở ngoài đoạn thẳng \(OO'\) theo tỉ số \(\frac{{R'}}{R}\)).