Cho (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O’) sao cho AM vuông góc với AN.
a) Chứng minh OM // O’N.
b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO’ lớn nhất.
a) Vì OM = OA = R nên tam giác OAM cân tại O.
Suy ra \(\widehat {AOM} = 180^\circ - 2.\widehat {OAM}\).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AO'N} = 180^\circ - 2.\widehat {O'AN}\).
Ta có \(\widehat {OAM} + \widehat {MAN} + \widehat {NAO'} = 180^\circ \) (kề bù).
Suy ra \(\widehat {OAM} + \widehat {NAO'} = 180^\circ - \widehat {MAN} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {AO'N} = 180^\circ - 2.\widehat {OAM} + 180^\circ - 2.\widehat {O'AN}\).
\( = 360^\circ - 2.\left( {\widehat {OAM} + \widehat {O'AN}} \right) = 360^\circ - 2.90^\circ = 180^\circ \).
Mà hai góc \(\widehat {AOM},\widehat {AO'N}\) ở vị trí trong cùng phía.
Vậy OM // O’N.
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên O’N.
Vì OM // O’N nên tứ giác OMNO’ là hình thang.
Suy ra \({S_{OMNO'}} = \frac{{OH.\left( {OM + O'N} \right)}}{2} = \frac{{OH.\left( {R + R'} \right)}}{2}\).
\[ \le \frac{{OO'.\left( {R + R'} \right)}}{2} = \frac{{\left( {R + R'} \right).\left( {R + R'} \right)}}{2} = \frac{{{{\left( {R + R'} \right)}^2}}}{2}\].
Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ O’ hay OO’ ⊥ O’N, OO’ ⊥ OM.
Khi đó \(\widehat {AOM} = 90^\circ \). Suy ra \(\widehat {OAM} = 45^\circ \).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {O'AN} = 45^\circ \).
Vậy M ở vị trí sao cho tam giác OAM vuông cân tại O, N ở vị trí sao cho tam giác O’AN vuông cân tại O’ thì diện tích tứ giác OMNO’ lớn nhất.