Ta có: S_CAM + S_MBD = S_CABD − S_AMB nhỏ nhất khi S_CABD nhỏ nhất và S_AMB lớn nhất

Ta thấy S_AMB lớn nhất khi M là điểm chính giữa (dễ dàng chứng minh)
Mặt khác: \({S_{CABD}} = \frac{{\left( {CA + BD} \right)\,.\,AB}}{2} = \left( {CA + BD} \right)\,.\,R\)

\( \ge 2\sqrt {CA\,.\,BD} \,.\,R = 2\sqrt {OA\,.\,OD} \,.\,R = 2{R^2}\)

Vậy để S_CABD nhỏ nhất thì CA = BD khi đó M cũng là điểm chính giữa nửa đường tròn.