a) Ta có: \[\widehat {CBH} = \widehat {ACH}\] (cùng phụ \[\widehat {HCB}\]) (1)
Xét DCDH ta có:
I và J lần lượt là trung điểm của CH và DH
Þ IJ là đường trung bình của DCHD
Þ IJ // CD Þ IJ // AC Þ \[\widehat {CIJ} = \widehat {ACH}\] (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) Þ \[\widehat {CIJ} = \widehat {CBH}\] (đpcm)
b) Thấy CJ là đường trung bình của DADH Þ \[\frac{{CJ}}{{AH}} = \frac{1}{2}\]
Mà \[\frac{{HI}}{{CH}} = \frac{1}{2}\] (Do I là trung điểm của CH) Þ \[\frac{{CJ}}{{AH}} = \frac{{HI}}{{CH}} \Rightarrow \frac{{CJ}}{{HI}} = \frac{{AH}}{{CH}}\]
Dễ chứng minh DAHC ᔕ DCHB \[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{CH}}{{HB}} \Rightarrow \frac{{CJ}}{{HI}} = \frac{{CH}}{{HB}}\]
Lại có: CJ // AB và CH ^ AB Þ CH ^ CJ Þ \[\widehat {JCH} = 90^\circ \]
Xét DCJH và DHIB có:
\[\widehat {JCH} = \widehat {CHB}\]
\[\frac{{CJ}}{{CH}} = \frac{{CH}}{{HB}}\]
Þ DCJH ᔕ DHIB (c. g. c) (đpcm)
c) Ta có: \[\widehat {HIB} + \widehat {HBI} = 90^\circ \].
Mà \[\widehat {HBI} = \widehat {CHJ}\] (do DCJH ᔕ DHIB)
Þ \[\widehat {HIB} + \widehat {CHJ} = 90^\circ \]
Þ DHEI vuông tại E Þ \[\widehat {IEJ} = 90^\circ \]
Xét tứ giác CIEJ: \[\widehat {IEJ} = \widehat {ICJ} = 90^\circ \]Þ Tứ giác CIEJ nội tiếp đường tròn
Þ \[\widehat {ECI} = \widehat {{\rm{EJI}}}\] hay \[\widehat {ECH} = \widehat {HJI}\]. Mà \[\widehat {HJI} = \widehat {HDC}\](vì IJ // CD) Þ \[\widehat {ECH} = \widehat {HDC}\]
Xét DHEC và DHCD có:
\[\widehat {ECH} = \widehat {CDH}\] (cmt)
\[\widehat {CHD}\]: chung
Do đó DHEC ᔕ DHCD (g.g)
Suy ra: \[\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HC}}{{HD}} \Rightarrow HE.HD = H{C^2}\] (đpcm).