Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Hạ AH vuông góc BC tại H. Trên nửa mp bờ BC chứa A dựng 2 nửa đường tròn đường kính HB, HC chúng lần lượt cắt AB, AC tại E và F. Chứng minh AE.AB = AF.AC.\[\]
Gọi P, Q lần lượt là tâm của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC.
Ta có:
\[\widehat {BEH} = {90^{\rm{o}}}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính HB).
\[\widehat {HFC} = {90^{\rm{o}}}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính HC).
Tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao:
AH2 = AE.AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
Tam giác ACH vuông tại H có HF là đường cao:
AH2 = AF.AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1), (2) ⇒ AE.AB = AF.AC