Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Gọi d là tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O). Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt d tại E và cắt đường thẳng OC tại D. Gọi F là giao điểm của BD và d. Tiếp tuyến tại B cắt ED tại K. Chứng minh BK = EF.
Kẻ DD’ ⊥ d (D’ ∈ d)
Ta có: OC // d (do cùng vuông góc với AB)
⇒ \(\widehat {DFD'} = \widehat {BDO}\)
Xét \(\Delta D'DF\) và \(\Delta OBD\) có:
\(\widehat {FD'D} = \widehat {DOB}\left( { = 90^\circ } \right)\)
D’D = OB \(\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\)
\(\widehat {DFD'} = \widehat {BDO}\)
⇒ \(\Delta D'DF = \Delta OBD\left( {g.c.g} \right)\)
⇒ DB = DF (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta DKB\) và \(\Delta DEF\) có:
\(\widehat {KDB} = \widehat {EDF}\)(đối đỉnh)
DB = DF (cmt)
\(\widehat {KBD} = \widehat {EFD}\) (góc so le trong do BK // d)
Do đó \(\Delta DKB = \Delta DEF\left( {g.c.g} \right)\)
⇒ BK = EF (2 cạnh tương ứng)(đpcm).