Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. Chứng minh ΔKMN vuông cân.
K là điểm chính giữa cung AB nên:
AK = KB (liên hệ giữa cung và dây)
Xét ∆AKN và ∆BKM có:
AK = BK
\[\widehat {NAK} = \widehat {MBK}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn )
AN = BM
Do đó ∆AKN = ∆BKM (c.g.c)
Suy ra \[\widehat {AKN} = \widehat {BKM}\] (hai góc tương ứng).
\[ \Rightarrow \widehat {AKN} = \widehat {BKM}\] và KN = KM
Khi đó: \[\widehat {NKM} = \widehat {NKB} + \widehat {BKM} = \widehat {NKB} + \widehat {AKN} = \widehat {AKB} = 90^\circ \]
Mà KN = KM
Þ ∆KMN là tam giác vuông cân tại K
Vậy ∆KMN là tam giác vuông cân tại K.