Cho n điểm trên mặt phẳng. Bạn An ký hiệu chúng là A₁, A₂, ..., A_n. Bạn Bình ký hiệu chúng là B₁, B₂, ..., B_n..

Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \].

Lấy điểm C tùy ý trên mặt phẳng chứa n điểm, ta có:

\[\overrightarrow {C{B_1}} + \overrightarrow {C{B_2}} + ... + \overrightarrow {C{B_n}} = \overrightarrow {C{A_1}} + \overrightarrow {C{A_2}} + ... + \overrightarrow {C{A_n}} \]

\[ \Rightarrow (\overrightarrow {C{B_1}} - \overrightarrow {C{A_1}} ) + (\overrightarrow {C{B_2}} - \overrightarrow {C{A_2}} ) + ... + (\overrightarrow {C{B_n}} - \overrightarrow {C{A_n}} ) = \overrightarrow 0 \]

\[{d_{\min }} = \frac{{l{v_2}\sin \alpha }}{{{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha }}\](đpcm).

Vậy \[\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \].