Cho một đa giác đều n đỉnh, n ∈ ℕ, n ≥ 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo.

Với hai đỉnh sẽ cho ta một đoạn thẳng, do đó số đoạn thẳng được tạo ra từ n đỉnh là \(C_n^2.\)

Đa giác có n đỉnh sẽ có n cạnh. Trong số \(C_n^2\) đoạn thẳng có n đoạn thẳng là cạnh của đa giác. Do đó số đường chéo của đa giác là \(C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}.\)

Theo đề bài ta có phương trình sau

\(\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 27 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 9}\\{n = - 6}\end{array}} \right.\)

Do n ∈ ℕ, n ≥ 3 ⇒ n = 9.