Cho \[M = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\] với x ≥ 0, x ≠ 1.
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi x = 4.
c) Tìm x ∈ ℝ để M có giá trị nguyên.
a) \[M = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\]
\[ = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) - 5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{2\sqrt x + 2 + 2\sqrt x - 2 - 5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{5\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]
\[ = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\]
b) Với x = 4 thì \[M = \frac{5}{{\sqrt x + 1}} = \frac{5}{{\sqrt 4 + 1}} = \frac{5}{3}\]
c) M có giá trị nguyên \[ \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\] có giá trị nguyên.
\[ \Leftrightarrow 5 \vdots \sqrt x + 1\] \[ \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \left\{ {1;5} \right\}\]
\[\sqrt x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\]
\[\sqrt x + 1 = 5 \Rightarrow x = 16\]