Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR \[ \Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 \]
Ta cần đi chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh \[\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \]
Ta có: \[2.(\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} )\]
\[ = 2.\overrightarrow {GN} + 2.\overrightarrow {GQ} + 2.\overrightarrow {GS} \]
\[ = (\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} ) + (\overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GA} )\]
(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)
\[ = (\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GE} )\]
\[ = 2.\overrightarrow {GM} + 2.\overrightarrow {GP} + 2.\overrightarrow {GR} \]
(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)
\[ = 2.(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} )\]
\[ = 2.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \]hay G cũng là trọng tâm của ΔNQS.
Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.