Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x^2-1}=\frac{-1}{2}\left(a,b\in ℝ\right).$ Tổng $S=a^2+b^2$ bằng

Chọn D

Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại x=1 nên biểu thức tử nhận x=1 làm nghiệm, hay $1+a+b=0$.

Áp dụng vào giả thiết, được $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+ax-1-a}{x^2-1}=\frac{-1}{2}\iff \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1+a\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=-\frac{1}{2}$.

$\iff \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1+a}{x+1}=-\frac{1}{2}\iff \frac{2+a}{2}=-\frac{1}{2}\iff a=-3$. Suy ra b=2.

Vậy $a^2+b^2=13$