Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa ( A'BC) và mặt phẳng đáy bằng 60$°$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ bằng

Chọn B

Gọi M là trung điểm BC suy ra góc giữa ( A'BC) và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{A^{\text{'}}MA}=60°$.

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a suy ra $S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}.{\left(2a\right)}^2=a^2\sqrt{3}$ và $AM=a\sqrt{3}$.

Tam giác $A^{\text{'}}AM$ có $\tan \widehat{A^{\text{'}}MA}=\frac{A^{\text{'}}A}{AM}\Rightarrow A^{\text{'}}A=AM.\sqrt{3}=3a$.

Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là: $V_{ABC{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}.A^{\text{'}}A=a^2\sqrt{3}.3a=3a^3\sqrt{3}$.