Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB=a $,AC=a\sqrt{3}$mặt phẳng ( A'BC) tạo với mặt phẳng đáy ( ABC)một góc 30$°$. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C'.

Chọn B

Ta có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Gọi M là hình chiếu của A trên BCsuy ra $BC\perp \left(A^{\text{'}}AM\right)$.

Mà$\left(A^{\text{'}}BC\right)\cap \left(ABC\right)=BC$, $\left(A^{\text{'}}BC\right)\cap \left(A^{\text{'}}AM\right)=A^{\text{'}}M$và $\left(ABC\right)\cap \left(A^{\text{'}}AM\right)=AM$

$\Rightarrow \left(\left(A^{\text{'}}BC\right),\left(ABC\right)\right)=\left(A^{\text{'}}M,AM\right)=\widehat{A^{\text{'}}MA}={30}^0$.

Xét tam giác ABCvuông tại A, có đường cao AMnên ta có: $\frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}$$\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $A^{\text{'}}A=AM.\tan {30}^0=\frac{a}{2}$.

Vậy

.