Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC bằng ${90}^0,$ góc ACB bằng ${30}^0$ tam giác BCC' đều cạnh a, mặt phẳng $\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$ vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Do $\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\perp \left(ABCD\right)$ nên kẻ $C^{\text{'}}H\perp AC\Rightarrow C^{\text{'}}H\perp \left(ABCD\right).$ Do $C^{\mathit{\text{'}}}B=C^{\mathit{\text{'}}}C$ nên HB= HC

$\Rightarrow HI\perp BC$ (với I là trung điểm của BC).

Ta có: $HI=IC.\tan \widehat{HCI}=\frac{a}{2}\tan {30}^0=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Tam giác C'HI vuông tại H nên ta có:

$C^{\text{'}}H=\sqrt{C^{\text{'}}{I}^2-HI}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Tam giác vuông ABC có $\widehat{ACB}={30}^0\Rightarrow AC=\frac{a\sqrt{3}}{2},AB=\frac{a}{2}.$