Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA' và BB'. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C'A' tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C'B'

A. 2

B. $\frac{2}{3}.$

C. 1

D. $\frac{1}{2}.$

Trả lời

Chọn A

Ta thấy A'B' là đường trung bình của tam giác C'PQ nên $S_{C^{\text{'}}PQ}=4S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

Ta được $V_{C.C^{\text{'}}PQ}=\frac{1}{3}.d\left(C,\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\right).S_{C^{\text{'}}PQ}=\frac{1}{3}.d\left(C,\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\right).4S_{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{4}{3}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$. (1)

Lại có

$$\begin{gathered} V_{C.ABMN}=\frac{1}{3}d\left(C,\left(ABMN\right)\right).S_{ABMN}=\frac{1}{3}d\left(C,\left(ABMN\right)\right).\frac{1}{2}{S}_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}{V}_{C.AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}} \\ =\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}} \end{gathered}$$

Do đó $V_{CMN.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{2}{3}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta được $V_{M{A}^{\text{'}}P.N{B}^{\text{'}}Q}=V_{C.C^{\text{'}}PQ}-V_{CMN.C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{2}{3}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{2}{3}.3=2.$