Chọn A

Gọi h,  S, V lần lượt là chiều cao, diện tích đáy và thể của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

+ $V_{A^{\text{'}}ABC}=\frac{1}{3}.S.h=\frac{1}{3}V$.

+ $V_{B^{\text{'}}PAQ}=V_{ABQ.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}H}-\left(V_{A.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}P}+V_{B^{\text{'}}BAQ}+V_{QHP{B}^{\text{'}}}\right)$$=\frac{1}{2}V-\left(\frac{1}{3}.S_{\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}P}.h+\frac{1}{3}.S_{\Delta BAQ}.h+\frac{1}{3}.S_{\Delta HP{B}^{\text{'}}}.h\right)$

$=\frac{1}{2}V-\left(\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.S.h+\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.S.h+\frac{1}{3}.\frac{1}{6}.S.h\right)=\frac{1}{2}V-\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}\right)V=\frac{1}{6}V$.

Vậy $\frac{V_{B^{\text{'}}PAQ}}{V_{A^{\text{'}}ABC}}=\frac{1}{2}$.