Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và CD. Chứng minh rằng: \[\widehat {AMN} = 90^\circ \].
Kẻ NH ^ OD
ABCD là hình vuông nên AC ^ BD và AC = BD
Þ NH // OC
Xét ΔOCD có:
NC = ND (vì N là trung điểm của CD)
NH // OC
Þ NH là đường trung bình của ΔOCD
Þ H là trung điểm của OD và \[NH = \frac{1}{2}OC\]
Þ NH = OM
Ta có:
\[HM = OM + OH = \frac{1}{2}OB + \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}BD\]
Þ HM = OA
Xét ΔOMA và ΔHNM có:
\[\widehat H = \widehat O = 90^\circ \]
NH = OM
HM = OA
ΔHNM = ΔOMA (c.g.c)
\[ \Rightarrow \widehat {HMN} = \widehat {OAM}\]
Do đó:
\[\widehat {AMN} = \widehat {AMO} + \widehat {HMN} = \widehat {AMO} + \widehat {OAM} = 90^\circ \]
Vậy AM ^ MN.