a) Gọi T là giao điểm của AD và EO; H là giao điểm của BC và OF.
Vì E là điểm đối xứng của O qua AD nên AD là đường trung trực của đoạn OE.
Khi đó AO = AE.
Vì vậy tam giác OAE cân tại A.
Tam giác OAE cân tại A có AT là đường trung trực.
Suy ra AT cũng là đường phân giác của tam giác OAE.
Do đó \(\widehat {EAT} = \widehat {TAO} = 45^\circ \) (do ABCD là hình vuông).
Vì vậy \(\widehat {EAO} = \widehat {EAT} + \widehat {TAO} = 90^\circ \).
Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat {EDO} = 90^\circ \).
Xét tứ giác AODE, có: \(\widehat {EAO} = \widehat {EDO} = 90^\circ \) (chứng minh trên) và \(\widehat {AOD} = 90^\circ \) (ABCD là hình vuông).
Suy ra tứ giác AODE là hình chữ nhật.
Mà OA = OD (ABCD là hình vuông tâm O).
Vậy tứ giác AODE là hình vuông.
Chứng minh tương tự, ta được: tứ giác BOCF là hình vuông.
b) Ta có E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.
Suy ra OE ⊥ AD và OF ⊥ BC.
Mà AD // BC (ABCD là hình vuông).
Do đó OE ⊥ BC.
Mà OF ⊥ BC (chứng minh trên).
Vì vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Xét ∆ECF và ∆FDE, có:
EF là cạnh chung;
FC = DE (OC = OD);
\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \).
Do đó ∆ECF = ∆FDE (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {FEC} = \widehat {DFE}\) (cặp góc tương ứng).
Vì vậy tam giác EIF cân tại I.
Mà O là trung điểm của EF (OE = AD; OF = BC và AD = BC).
Suy ra OI là vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác EIF.
Do đó OI ⊥ EF (1)
Ta có EF ⊥ AD (chứng minh trên) và AD ⊥ BC (ABCD là hình vuông).
Suy ra EF // CD (2)
Từ (1), (2), ta thu được OI ⊥ CD.
c) Ta có AODE là hình vuông (câu a).
Suy ra SAOD = SAED (tính chất hình vuông) (3)
Chứng minh tương tự, ta được: SBFC = SBOC (4)
Xét ∆AOD và ∆AOB, có:
AB = AD (ABCD là hình vuông);
AO là cạnh chung;
OB = OD (O là trung điểm BD).
Do đó ∆AOD = ∆AOB (c.c.c).
Suy ra SAOD = SAOB (5)
Chứng minh tương tự, ta được SDOC = SBOC và SAOB = SBOC (6)
Từ (3), (4), (5), (6), suy ra SAOD = SAED = SBFC = SBOC = SAOB = SDOC.
Theo đề ta có SABFCDE = 6.
Suy ra 6SABO = 6.
Do đó SABO = 1.
Vì vậy SABCD = SABO + SAOD + SDOC + SBOC = 4SABO = 4.
Suy ra AB2 = 4.
Vậy AD = CD = BC = AB = 2.
d) Gọi M là giao điểm của OI và AB; N là giao điểm của IM và AK.
Ta có OE = OF (O là trung điểm của EF).
Suy ra 2OT = 2OH.
Vì vậy OT = OH.
Vì OI ⊥ CD và CD // AB nên OI ⊥ AB hay OM ⊥ AB.
Mà O là trung điểm của HT (OT = OH).
Suy ra M là trung điểm của AB.
Tam giác ABK, có: MA = MB (M là trung điểm của AB) và MN // BK (cùng vuông góc với AB).
Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABK.
Suy ra N là trung điểm AK.
Vì vậy IN là đường trung tuyến của tam giác AIK.
Mà G là trọng tâm của tam giác AIK.
Khi đó G ∈ IN hay G ∈ IM.
Mà I, M cố định.
Vậy điểm G thuộc một đường thẳng cố định IM khi K di chuyển trên cạnh BC.