Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho \(AM = \frac{{AC}}{4}\). Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} \).
A. –4.
B. 0.
C. 4.
D. 16.
Đáp án đúng là: B
Ta phân tích các vectơ \(\overrightarrow {MB} ,\,\,\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.
⦁ \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).
⦁ \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \).
Khi đó \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\left( {3\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{4}\left( {3A{B^2} + 8\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - 3A{D^2}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {{{3.2}^2} + 8.0 - {{3.2}^2}} \right) = 0\).
Vậy ta chọn phương án B.