Cho hình thang ABCD, O là giao điểm của 2 đường chéo, đáy lớn CD. Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E và đường thẳng qua B song song với AD cắt đường thẳng AC tại F.
a) Chứng minh: EF // AB.
b) Chứng minh: AB2 = EF . CD.
a) DO AE // BC nên áp dụng hệ quả định lí Ta-let, ta có:
\(\frac{{OE}}{{OB}} = \frac{{AO}}{{OC}}\)
Tương tự ta có: BF // AD
\(\frac{{OF}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{OD}}\)
Mà AB // CD nên \(\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{OA}}{{OC}}\)
Từ đó suy ra \(\frac{{OF}}{{OA}} = \frac{{OE}}{{OB}} \Rightarrow \)EF // AB (đpcm).
b) Do AB // EF nên \(\frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{OE}}{{OB}}\)
Do AB // CD nên \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{AB}}{{CD}}\)
Mà theo a) ta có: \(\frac{{OE}}{{OB}} = \frac{{AO}}{{OC}}\)
Nên \(\frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{CD}}\)
Vậy AB2 = EF.CD (đpcm)