a) Tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD.
Suy ra MQ là đường trung bình của tam giác ABD.
Do đó MQ // BD và \(MQ = \frac{1}{2}BD\) (1)
Chứng minh tương tự, ta được NP // BD và \(NP = \frac{1}{2}BD\) (2)
Từ (1), (2), suy ra MQ // NP và MQ = NP.
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó \(MN = \frac{1}{2}AC\).
Nếu ABCD là hình thang cân thì AC = BD.
Mà \(MQ = \frac{1}{2}BD\) (chứng minh trên) và \(MN = \frac{1}{2}AC\) (chứng minh trên).
Suy ra MQ = MN.
Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Do đó tứ giác MNPQ là hình thoi.
Vậy MP là là tia phân giác của \[\widehat {QMN}\].