Gọi H,  K lần lượt là hình chiếu của O lên AB và SH.

Ta có: AB ^ (SOH) Þ AB ^ OK

Mà OK ^ SH nên OK ^ (SAB)

\( \Rightarrow OK = d\left( {O,\;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Trong tam giác vuông SOH, ta có: 

\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} - \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}}\)

Þ OH = a

Khi đó: \(SH = \sqrt {S{O^2} + O{H^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên có 

\(SH = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow AB = 2SH = 2a\sqrt 2 \)

Khi đó độ dài đường sinh là 

l = SA = SB = 2a

Bán kính của đường tròn đáy là 

\(r = OA = \sqrt {O{H^2} + H{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3 \)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

\[{S_{xq}} = \pi \,.\,r\,.\,l = \pi \,.\,a\sqrt 3 .\,2a = 2\pi {a^2}\sqrt 3 \].