Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD

Bài 7.55 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.

a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A'B'D'.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A'B.

Trả lời

a) Ta có $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=S_{ABCD}=a^2$ mà ABCD và A'B'C'D' là hình vuông nên $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=S_{ABD}$$=\frac{1}{2}{S}_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{a^2}{2}$ .

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}=\frac{1}{2}$ .

Xét $△$AMN và $△$ABD có góc A chung và $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}$ nên $△$AMN đồng dạng với $△$ABD.

Suy ra $\frac{S_{AMN}}{S_{ABD}}={\left(\frac{AM}{AB}\right)}^2=\frac{1}{4}$$\Rightarrow S_{AMN}=\frac{1}{4}{S}_{ABD}=\frac{a^2}{8}$ .

(Ngoài cách trên, ta có thể tính được AM = AN = $\frac{a}{2}$ , suy ra $S_{AMN}=\frac{1}{2}$.AM.AN = $\frac{a^2}{8}$ )

Khi đó $V_{AMN.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}\cdot A{A}^{\text{'}}\cdot \left(S_{AMN}+S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+\sqrt{S_{AMN}\cdot S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}\right)$

$=\frac{1}{3}\cdot a\cdot \left(\frac{a^2}{8}+\frac{a^2}{2}+\sqrt{\frac{a^2}{8}\cdot \frac{a^2}{2}}\right)=\frac{7a^3}{24}$.

b) Xét tam giác ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó MN // BD. Suy ra MN // (A'BD).

Do đó d(MN, A'B) = d(MN, (A'BD)) = d(M, (A'BD)).

Vì M là trung điểm của AB nên d(M,(A'BD)) = $\frac{1}{2}$d(A,(A'BD)).

Đặt h = d(A, (A'BD)).

Áp dụng kết quả bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 tập 2, ta có:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{D}^2}+\frac{1}{A{A^{\text{'}}}^2}$$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}$$\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Vậy d(MN,A'B) = $\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: