Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a căn 2

Bài 7.52 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA $\perp$ (ABCD), biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a$\sqrt{2}$ .

a) Chứng minh rằng (SAC) $\perp$ (SBD) và (SAD) $\perp$ (SCD).

b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh rằng (ACF) $\perp$ (SBC) và (AEF) $\perp$ (SAC).

c) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Trả lời

a) Ta có ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD. Mà SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ BD.

Do đó BD $\perp$ (SAC) mà BD $\subset$ (SBD) nên (SAC) $\perp$ (SBD).

Vì ABCD là hình vuông nên AD $\perp$ CD mà SA $\perp$ (ABCD) nên CD $\perp$ SA.

Do đó CD $\perp$ (SAD) mà CD $\subset$ (SCD) nên (SAD) $\perp$ (SCD).

b) Vì ABCD là hình vuông nên AD $\perp$ AB mà SA $\perp$ (ABCD) nên AD $\perp$ SA.

Do đó AD $\perp$ (SAB), suy ra AD $\perp$ SB.

Vì DF là đường cao của tam giác SBD nên SB $\perp$ DF mà AD $\perp$ SB do đó SB $\perp$ (ADF), suy ra SB $\perp$ AF.

Vì ABCD là hình vuông nên AB $\perp$ BC, mà SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ BC.

Do đó BC $\perp$ (SAB) nên BC $\perp$ AF.

Có SB $\perp$ AF và BC$\perp$ AF, do đó AF $\perp$ (SBC) mà AF $\subset$ (ACF) nên (ACF) $\perp$ (SBC).

Vì AF $\perp$ (SBC) nên AF $\perp$ SC.

Vì CD $\perp$ (SAD), suy ra CD $\perp$ AE.

Vì ABCD là hình vuông nên AD $\perp$ AB mà SA $\perp$ (ABCD) nên AB $\perp$ SA.

Vì AD $\perp$ AB và AB $\perp$ SA nên AB $\perp$ (SAD), suy ra AB $\perp$ SD.

Lại có BE là đường cao của tam giác SBD nên BE $\perp$ SD.

Vì AB $\perp$ SD và BE $\perp$ SD nên SD $\perp$ (ABE), suy ra SD $\perp$ AE.

Vì SD $\perp$ AE mà CD $\perp$ AE nên AE $\perp$ (SCD), suy ra AE $\perp$ SC mà AF $\perp$ SC.

Do đó SC $\perp$ (AEF) mà SC $\subset$ (SAC) nên (AEF) $\perp$ (SAC).

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, kẻ OH $\perp$ SC tại H.

Có AC$\perp$ BD và BD $\perp$ SA nên BD $\perp$ (SAC), suy ra OH $\perp$ BD.

Do đó OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC hay d(BD, SC) = OH.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ .

Do ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC nên OC = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SAC vuông tại A nên SC = $\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{2a^2+2a^2}=2a$

Xét $△$CHO và $△$CAS có góc C chung và $\widehat{CHO}=\widehat{CAS}=90°$ nên $△$CHO đồng dạng với $△$CAS, suy ra $\frac{OC}{CS}=\frac{OH}{AS}$$\Rightarrow OH=\frac{OC\cdot AS}{CS}$$=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a\sqrt{2}}{2a}$$=\frac{a}{2}$.

Vậy d(BD, SC) = $\frac{a}{2}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: