Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA = a căn 5 / 2

Bài 7.53 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$ . Gọi SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC.

a) Chứng minh rằng (SMN) $\perp$ (ABCD).

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, AD, B].

c) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Trả lời

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD.

Vì SM là đường cao của tam giác SAD nên AD $\perp$ SM.

Do ABCD là hình vuông nên AD // BC do đó BC $\perp$ SM, mà BC $\perp$ SN (do SN là đường cao của tam giác SBC) nên BC $\perp$ (SMN).

Lại có BC $\subset$ (ABCD) nên (SMN) $\perp$ (ABCD).

b) Vì các tam giác SAD, SBC là các tam giác cân, SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC nên M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

Vì MN đi qua O nên OM $\perp$ AD mà SM $\perp$ AD nên [S, AD, B] = $\widehat{SMO}$ .

ABCD là hình vuông cạnh a nên MN = a, OM = ON = $\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Mà O là trung điểm của AC nên OA = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $\perp$ (ABCD).

Xét tam giác SAO vuông tại O, có SO = $\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác SOM vuông tại O, SM = $\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=a$ .

Tương tự, SN = a. Suy ra SM = SN = MN = a.

Do đó tam giác SMN là tam giác đều. Suy ra $\widehat{SMN}$ = 60^o.

Vậy góc nhị diện [S, AD, B] bằng 60°.

c) $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: