Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm

Bài 7.47 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

C. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

D. $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD, MN.

Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD suy ra AB // (SCD).

Khi đó d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) = 2 . d(O, (SCD)).

Ta có SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ CD mà CD $\perp$ ON (do MN // BC) nên CD $\perp$ (SON).

Hạ OH $\perp$ SN tại H, OH $\perp$ CD (do CD $\perp$ (SON)) nên OH $\perp$ (SCD).

Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Xét tam giác BCD có ON là đường trung bình nên ON = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ .

ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, suy ra OC = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOC vuông tại O có: SO = $\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SON vuông tại O, OH là đường cao, ta có

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{N}^2}$$=\frac{4}{2a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{6}{a^2}$$\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Vậy d(AB, SD) = 2 . OH = $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: