Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD

Bài 7.46 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{a\sqrt{6}}{6}$ .

B. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

D. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Vì S.ABCD là hình chóp đều, O là giao điểm của AC và BD nên SO $\perp$ (ABCD).

Kẻ OM $\perp$ BC tại M mà BC $\perp$ SO (do SO $\perp$ (ABCD)) nên BC $\perp$ (SOM).

Kẻ OH $\perp$ SM tại H mà OH $\perp$ BC (do BC $\perp$ (SOM)) nên OH $\perp$ (SBC).

Khi đó d(O, (SBC)) = OH.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông.

Xét tam giác ABC có OM // AB (vì cùng vuông góc với BC) mà O là trung điểm của AC nên M là trung điểm của BC, do đó OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của AC nên OC = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOC vuông tại O có: SO = $\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao, ta có

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{M}^2}$$=\frac{4}{2a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{6}{a^2}$$\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{6}}{6}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: