Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC'= a căn 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng

Trả lời

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD và AC ^ BD.

Có AD // B'C' và AD = B'C' (vì cùng song song và bằng BC) nên ADC'B' là hình bình hành, suy ra AB' // DC'. Do đó AB' // (BDC').

Khi đó d(AB', BC') = d(AB', (BDC')) = d(A, (BDC')) = d(C, (BDC')) .

Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a.

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$  .

Vì CC' ^ (ABCD) nên CC' ^ AC hay tam giác ACC' vuông tại C.

Xét tam giác ACC' vuông tại C, có  $A{C^{\text{'}}}^2=A{C}^2+C{C^{\text{'}}}^2\iff 3=2a^2+a^2\Rightarrow a=1$.

Do đó hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là 1 nên AC = $\sqrt{2}$  .

Vì O là trung điểm của AC nên CO = $\frac{\sqrt{2}}{2}$  .

Có AC ^ BD, BD ^ AA' (do AA' ^ (ABCD)), suy ra BD ^ (ACC'A') mà BD Ì (BDC') nên (BDC') ^ (ACC'A') .

Kẻ CE ^ C'O tại E.

Vì (BDC') ^ (ACC'A'), (BDC') Ç (ACC'A') = C'O mà CE ^ C'O nên CE ^ (BDC').

Khi đó d(C, (BDC')) = CE.

Xét tam giác C'CO vuông tại C, CE là đường cao có:

$\frac{1}{C{E}^2}=\frac{1}{C{C^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{C{O}^2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=3\Rightarrow C{E}^2=\frac{1}{3}\Rightarrow CE=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy d(AB', BC') .