Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a, $AB=a\sqrt{2}$ . Biết SA ^ (ABCD) và $SA=a\sqrt{3}$ . Gọi M là trung điểm của cạnh CD.

a) Chứng minh rằng BD ^ (SAM).

a) Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = DC = $a\sqrt{2}$ ; AD = BC = a.

Gọi E là giao điểm của AM và BD.

Vì M là trung điểm của CD nên DM = MC = $\frac{CD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác ADM vuông tại D có: $\tan \widehat{AMD}=\frac{AD}{DM}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$  .

Xét tam giác ADB vuông tại A có: $\tan \widehat{ADB}=\frac{AB}{AD}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}$  .

Vì $\tan \widehat{AMD}=\tan \widehat{ADB}=\sqrt{2}$  , suy ra $\widehat{AMD}=\widehat{ADB}$ .

Có $\widehat{AMD}+\widehat{BDM}=\widehat{ADB}+\widehat{BDM}=\widehat{ADC}=90°$ , suy ra $\widehat{DEM}=90°$  hay AM ^ BD.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD mà AM ^ BD nên BD ^ (SAM).