Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  cạnh a Gọi  M, N lần lượt là trung điểm của A'B' và BC Mặt phẳng $\left(DMN\right)$  chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi $\left(H\right)$  là khối đa diện chứa đỉnh A, $\left(H^{\text{'}}\right)$  là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{V\left(H\right)}{V\left(H^{\text{'}}\right)}.$

Chọn B

Đặt $AB=1\Rightarrow V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=1$

Đường thẳng qua M  song song với DN cắt A'D'  tại K  cắt B'C'   tại  I Thiết diện là hình ngũ giác $MKDNQ.$

Dễ thấy $A^{\text{'}}K=\frac{1}{4}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}=\frac{1}{4};K{D}^{\text{'}}=\frac{3}{4};I{B}^{\text{'}}=\frac{1}{4}$

Ta có $\frac{K{D}^{\text{'}}}{I{C}^{\text{'}}}=\frac{D^{\text{'}}P}{P{C}^{\text{'}}}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{D^{\text{'}}P}{1+D^{\text{'}}P}\Rightarrow D^{\text{'}}P=\frac{3}{2}$

Tương tự $NC=\frac{1}{2};CR=\frac{2}{3}\Rightarrow B^{\text{'}}Q=\frac{1}{3}$

Do đó

$V\left(H^{\text{'}}\right)=V_{C^{\text{'}}IPR}-V_{IM{B}^{\text{'}}Q}-V_{P.K{D}^{\text{'}}D}-V_{R.NCD}=\frac{89}{144}$

$V\left(H\right)=1-V\left(H^{\text{'}}\right)=1-\frac{89}{144}=\frac{55}{144}$.

Suy ra $\frac{V\left(H\right)}{V\left(H^{\text{'}}\right)}=\frac{55}{89}.$