Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCDA'B'C'D' có cạnh đáy bằng a Góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC) là 45$°$ Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$

Chọn A

Góc giữa đường thẳng $A\text{'}B$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là $\widehat{\left(A\text{'}B,AB\right)}=\widehat{A\text{'}BA}={45}^0.$

Ta có tam giác $A\text{'}AB$ vuông tại cân A suy ra $AA\text{'}=AB=a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=AA\text{'}.S_{\Delta ABC}=a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$