Cho hình lăng trụ đứng  $ABC.A_1{B}_1{C}_1$có $AB=a,AC=2a,A{A}_1=2a\sqrt{5}$ và góc $BAC$bằng $120°.$ Gọi K, I lần lượt là trung điểm các cạnh $C{C}_1,B{B}_1.$ Tính khoảng cách từ điểm  I đến mặt phẳng $\left(A_{1}BK\right).$

Chọn D

+ Ta có: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos 120°}=a\sqrt{7}.$

Diện tích tam giác $ABC:S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin 120°=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $B_1{C}_1.$ Lúc đó:

$A_{1}H=\frac{2S_{\Delta ABC}}{BC}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$là chiều cao tứ diện $A_1.BIK.$

Diện tích tam giác $KIB:S_{\Delta KIB}=\frac{1}{2}KI.IB=\frac{a^2\sqrt{35}}{2}.$

Suy ra, thể tích tứ diện $A_1.BIK:$ $V_{A_1.BIK}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta BIK}.A_{1}H=\frac{a^3\sqrt{15}}{6}.$

+ Ta lại có:

$\begin{array}{l}BK=\sqrt{C{K}^2+C{B}^2}=2a\sqrt{3}\\ A_{1}K=\sqrt{A_1{C_1}^2+C_1{K}^2}=3a\\ A_{1}B=\sqrt{A_1{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{21}.\end{array}$

Đặt $p=\frac{BK+A_{1}K+A_{1}I}{2},$diện tích tam giác $A_{1}KB$ là  $S_{\Delta A_{1}KB}=\sqrt{p\left(p-BK\right)\left(p-A_{1}K\right)\left(p-A_{1}B\right)}=3a^2\sqrt{3}.$

+ Gọi $h=d\left(I,\left(A_{1}BK\right)\right).$

Lúc đó, h là chiều cao khối tứ diện $I.A_{1}BK$nên $h=\frac{3V_{A_1.BIK}}{S_{\Delta A_{1}BK}}=\frac{\sqrt{5}}{6}.$

Lưu ý: Tam giác vuông $A_{1}KB$ tại K