Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, $A{A}^{\text{'}}=\frac{3a}{2}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên $\left(ABC\right)$ là trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

Chọn C

Gọi I là trung điểm của BC. AI là đường cao của tam giác đều cạnh a nên $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Tam giác AA'I vuông tại I nên: $A^{\text{'}}I=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2-A{I}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Suy ra thể tích lăng trụ là: $V=A\text{'}I.S_{\Delta ABC}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^3}{4\sqrt{2}}$