Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D'  có AB= x, AD=3 góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng ( ABB'A') bằng $30°$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật.

Chọn B

Ta có $A^{\text{'}}C\cap \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)=A^{\text{'}}$; $BC\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow \left(A^{\text{'}}C,\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=\widehat{C{A}^{\text{'}}B}=30°$ .

Tam giác A'BC vuông tại B $\Rightarrow A^{\text{'}}B=BC.\cot \widehat{B{A}^{\text{'}}C}=3\sqrt{3}$.

Tam giác  ABA' vuông tại A $\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=\sqrt{A^{\text{'}}{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{27-x^2}$ (với $-3\sqrt{3}<x<3\sqrt{3}$).

Suy ra $V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=3x\sqrt{27-x^2}=3\sqrt{x^2\left(27-x^2\right)}\stackrel{AM-GM}{\le }\frac{81}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp bằng $\frac{81}{2}$ khi $x=\frac{3\sqrt{6}}{2}$.