a) Xét tứ giác BDEF, ta có:
C là trung điểm của BE (vì E đối xứng B qua C)
C là trung điểm của DF (vì F đối xứng D qua C)
Nên tứ giác BDEF là hình bình hành
Lại có BE ^ DF tại C (vì ABCD là hình chữ nhật)
Vậy BDEF là hình thoi
b) Ta có AC = BD (vì ABCD là hình chữ nhật)
Mà BD = DE (vì BDEF là hình thoi)
Vậy AC = DE
c) Ta có AD = BC (vì ABCD là hình chữ nhật)
Mà BC = CE (vì E đối xứng B qua C)
Nên AD = CE
Xét tứ giác ADEC, ta có:
AC = DE(cmt)
AD = CE(cmt)
Nên tứ giác ADEC là hình bình hành
Lại có H là trung điểm của CD
Do đó H cũng là trung điểm của AE
Xét ∆AEF, ta có:
H là trung điểm của AE (cmt)
K là trung điểm của EF (gt)
Nên HK là đường trung bình của ∆AEF
Do đó HK // AF
d) Ta có S∆AEF = S∆AHF + S∆EHF
\( \Rightarrow 30 = \frac{1}{2}AD\,.\,HF + \frac{1}{2}EC\,.\,HF\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2}HF\,.\,\left( {AD + EC} \right) = 30\)
Þ HF.(AD + AD) = 60
Þ 2HF.AD = 60
\( \Rightarrow 2\,.\,\frac{3}{2}CD\,.\,AD = 60\)
Þ CD.AC = 20
Þ SABCD = 20 (cm2)