1) Tam giác ABC vuông tại B (do ABCD là hình chữ nhật) có BH là đường cao:

⦁ AC² = AB² + BC² (Định lí Pythagore).

= 4² + 3² = 25.

Suy ra AC = 5 (cm).

⦁ \(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

          \( = \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{{25}}{{144}}\).

Suy ra \(B{H^2} = \frac{{144}}{{25}}\).

Khi đó \(BH = \frac{{12}}{5}\) (cm).

⦁ \(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{3}{4}\). Suy ra \(\widehat {BAC} \approx 36^\circ 52'\).

Vậy AC = 5 cm; \(BH = \frac{{12}}{5}\) cm và \(\widehat {BAC} \approx 36^\circ 52'\).

2) Ta có AB = CD (do ABCD là hình chữ nhật).

Tam giác ABE vuông tại A có AH là đường cao:

AB² = BH.BE (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy BH.BE = CD² (điều phải chứng minh).

3) Xét ∆BHC và ∆BFE, có:

\(\widehat {HBC}\) chung;

\(\widehat {BHC} = \widehat {BFE} = 90^\circ \).

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{BH}}{{BF}} = \frac{{BC}}{{BE}}\).

Xét ∆BHF và ∆BCE, có:

\(\widehat {HBC}\) chung;

\(\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BE}}\) (do \(\frac{{BH}}{{BF}} = \frac{{BC}}{{BE}}\)).

Vậy  (c.g.c).

4) Ta có CDEF là hình chữ nhật (do \(\widehat {CDE} = \widehat {DCF} = \widehat {CFE} = 90^\circ \)).

Suy ra EF = CD = AB = 4 (cm).

Vì \(\frac{{BH}}{{BF}} = \frac{{BC}}{{BE}}\) nên BC.BF = BH.BE = CD² = AB² = 16 (cm).

Suy ra \(BF = \frac{{16}}{{BC}} = \frac{{16}}{3}\) (cm).

Khi đó \({S_{\Delta BFE}} = \frac{1}{2}BF.EF = \frac{1}{2}.\frac{{16}}{3}.4 = \frac{{32}}{3}\) (cm²).

Tam giác BFE vuông tại F: BE² = BF² + EF² (Định lí Pythagore).

Suy ra \[BE = \sqrt {B{F^2} + E{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{16}}{3}} \right)}^2} + {4^2}} = \frac{{20}}{3}\] (cm).

Ta thấy tam giác BEF và tam giác BHF có chung đường cao hạ từ điểm F.

Suy ra \(\frac{{{S_{\Delta BHF}}}}{{{S_{\Delta BEF}}}} = \frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{12}}{5}:\frac{{20}}{3} = \frac{9}{{25}}\).

Vậy \({S_{\Delta BHF}} = \frac{9}{{25}}.{S_{\Delta BEF}} = \frac{9}{{25}}.\frac{{32}}{3} = \frac{{96}}{{25}}\) (cm²).