Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có mặt bên (SCD) hợp với mặt đáy một góc 45$°$ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng $a\sqrt{3}$ . Tính thể tích của khối chóp SABCD.

Gọi M  là trung điểm cạnh CD ,

Ta có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp OM\\ CD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOM\right)\Rightarrow CD\perp SM$  tại M  trong $\left(SCD\right)$

và $OM\perp CD$  tại M  trong $\left(ABCD\right)$ .

Khi đó: $\left(\left(SCD\right),\left(ABCD\right)\right)=\left(SM,OM\right)=goc\left(SMO\right)=45°$  . Suy ra: $\Delta SOM$vuông cân tại O .$\Rightarrow OM=\text{OS}$

Trong $\left(SOM\right)$ , dựng $OH\perp SM$  tại H . Mặt khác  $OH\perp CD$(do $CD\perp \left(SOM\right)$ ) suy ra $OH\perp \left(SCD\right)$  tại H. $OH=d(O;(SCD\left)\right)$ .

Ta có $\frac{d(A,(SCD\left)\right)}{d(O,(SCD\left)\right)}=\frac{AC}{OC}=2$

Theo gt: $a\sqrt{3}=d\left(A,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right)=2OH\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giac vuông :

 $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{M}^2}=\frac{2}{O{S}^2}$(vì $OM=OS$$OM=OS$ )

Suy ra: $SO=OM=\frac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.A{D}^2=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.{\left(2.\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^2=a^3\sqrt{6}$  .

KL: $V=a^3\sqrt{6}$