Mặt phẳng qua A,M và song song với BD  đi qua G và cắt SB,SD   lần lượt tại E  và F  ta suy ra $EF//BD$  . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng đó với hình chóp là tứ giác $AEMF,$   chia khối chóp thành 2 phần: Khối chóp $S.AEMF$   và phần còn lại, đa diện $AEMFBCD$ .

Xét tam giác SBD, vì EF song song với BD nên ta có $\frac{SE}{SB}=\frac{SF}{SD}=\frac{SG}{SO}=\frac{2}{3}$ , nên ta có:

$\frac{V_{S.AEM}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SE}{SB}.\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$. Vì $V_{S.AEMF}=2V_{S.AEM},V_{S.ABC}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}$ , nên

$\begin{array}{l}{V}_{S.AEMF}=2.V_{S.AEM}=2.\frac{1}{3}{V}_{S.ABCD}=\frac{a^3\sqrt{6}}{18}\left(dvtt\right)\\ \Rightarrow V_{AEMFBCD}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}-\frac{a^3\sqrt{6}}{18}=\frac{a^3\sqrt{6}}{9}\left(dvtt\right)\end{array}$