Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của khối chóp bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp của hình chóp S.ABC.
Áp dụng công thức \[r = \frac{{3V}}{{{S_{tp}}}}\,\,\] (*) và tam giác đều cạnh x có diện tích \[S = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\,\,\]
Từ giả thiết S.ABC đều có SA = SB = SC. Lại có SA, SB, SC đôi một vuông góc và thể tích khối chóp S.ABC bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]nên ta có SA = SB = SC = a.
Suy ra \[AB = BC = CA = a\sqrt 2 \] và tam giác ABC đều cạnh có độ dài \[a\sqrt 2 \]. Do đó diện tích toàn phần của khối chóp S.ABC là
Stp = SSAB + SSBC + SSCA + SABC
\[ = \frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{2}\]
Thay vào (*) ta được: \[\frac{{4\pi }}{3}\].
Vậy r = \[r = \frac{a}{{3 + \sqrt 3 }}\].