Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh  a, $SD=\frac{a\sqrt{17}}{2}$ , hình chiếu của S lên mặt ( ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. Tính chiều cao của khối chóp  $H.SBD$ theo a.

Chọn B

Gọi O   là giao điểm của AC  và  BD .

Kẻ $HK//AO$  cắt BD  tại H .

$AO\perp BD\Rightarrow HK\perp DB$ ( vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông)

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}HK\perp DB\\ SH\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SHK\right)\Rightarrow BD\perp SK$ .

Kẻ $HI\perp SK$

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}BD\perp HI\left(HI\subset \left(SHK\right)\right)\\ HI\perp SK\end{array}\right.\Rightarrow HI\perp \left(SBD\right)$

Do đó $d_{\left(H,\left(SBD\right)\right)}=HI$ .

$AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $HK=\frac{AO}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$  , $HD=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

$\Delta SHD$ vuông tại  H$\Rightarrow SH=a\sqrt{3}$ .

$\Delta SHK$ vuông tại  H$\Rightarrow \frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{8}}=\frac{25}{3a^2}\Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{3}}{5}$ .

Vậy $d_{\left(H,\left(SBD\right)\right)}=HI=\frac{a\sqrt{3}}{5}$  .